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Piezo Accelerometer Tutorial

Propriétés de l'accéléromètre

Propriétés liées à la fréquence


Principes de base

Lors de la mesure des vibrations en général, nous pouvons distinguer deux types fondamentalement différents, à savoir la mesure des vibrations relatives et absolues.
La vibration relative correspond à la mesure d'une distance variable, par exemple le jeu entre un arbre en rotation et un palier. Elle peut être mesurée par un capteur de proximité installé sur le palier qui pointe vers l'arbre. Cela fournit le déplacement de l'arbre par rapport au palier.
Un accéléromètre (piézoélectrique ou autre) est un capteur inertiel et mesure les vibrations absolues. L'accéléromètre mesure la vibration dans l'espace et non par rapport à un autre système. La masse d'inertie fournit cette caractéristique car elle est "suspendue" par l'élément sensible du capteur. L'accélération agit sur la masse inertielle et génère une force ou un mouvement de cette masse qui est mesuré par l'élément sensible. Pour les mesures absolues ou sismiques, on peut utiliser un capteur de vitesse ou d'accélération, mais il existe aussi des capteurs de vibrations absolues qui mesurent le déplacement. Dans le cas d'un accéléromètre piézoélectrique, nous mesurons la force de la masse inertielle accélérée. Cependant, l'élément de détection piézoélectrique n'est pas complètement rigide et permet donc un infime mouvement de la masse inertielle. Nous verrons dans ce chapitre que ce mouvement de la masse inertielle dépend fortement de la fréquence de vibration et conduit à un comportement dynamique très important lié à la fréquence.

 


La fréquence propre d'un capteur sismique

en cours de construction ...

The Natural Frequency

 

Nous retenons que

  • Le comportement fréquentiel d'un capteur de vibrations absolues est caractérisé par sa fréquence propre.

  • L'augmentation de la masse d'inertie entraîne une diminution de la fréquence propre tandis que l'augmentation de la raideur k de la suspension (ressort) l'augmente.

  •  La fréquence propre d'un accéléromètre piézoélectrique est de



Mais attention : En toute rigueur, cette formule simple ne s'applique qu'à la fréquence naturelle d'un oscillateur non-amorti ; cependant, elle représente une assez bonne approximation pour la fréquence naturelle d'un accéléromètre piézoélectrique.

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Oscillateur ressort-masse sans amortissement

Nous regardons notre modèle d'oscillateur à ressort et masse qui repose sur une base fixe. La masse est m [kg] et la constante du ressort est k [N/m].

D'après Sir Newton, la force agissant sur la masse en raison de l'accélération est . Une force supplémentaire est due au ressort et vaut k·x. La force de gravitation m·g  est constante.

Nous pouvons donc la négliger et écrire:

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or

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La solution de cette équation différentielle devient

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Il s'agit d'une oscillation harmonique continue avec la fréquence ω₀.

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est appelée la fréquence propre du système.

Schéma d'un oscillateur ressort-masse non amorti

Oscillateur ressort-masse non-amorti


Oscillateur ressort-masse avec amortissement

La fréquence propre d'un oscillateur amorti est légèrement différente de celle du même oscillateur sans amortissement. Un oscillateur véritablement non amorti n'existe pas dans le monde réel, mais l'amortissement d'un accéléromètre piézoélectrique est très faible et peut pratiquement être négligé. D'autres capteurs de vibrations absolues (comme les capteurs MEMS ou les capteurs de vitesse), présentent un amortissement important qui doit être pris en compte.
Pour cette raison et pour être complet, les deux versions, amortie et non-amortie, sont traitées ici.

Pour plus de détails, voir la

 

Pour le calcul, on suppose normalement que la force de friction est proportionnelle à la vitesse. Dans l'illustration, l'amortissement est représenté par le "dashpot" ajouté avec le coefficient d'amortissement c [N/m/s].
La force d'amortissement devient alors
c· et la somme de toutes les forces conduit à

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Ici, il est utile d'introduire l'amortissement relatif ζ qui est défini comme suit

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Schéma d'un oscillateur ressort-masse amorti

Oscillateur ressort-masse avec amortissement

En utilisant                      , l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme

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Selon les conditions initiales, par exemple avec x(t=0)=0, la solution est

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Il s'agit alors d'une oscillation sinusoïdale avec la fréquence ωD et d'amplitude initiale A. L'oscillation décroît exponentiellement avec l'exposant -ζ· ω0 (voir figure).

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La fréquence d'oscillation ωest la fréquence propre amortie.

Avec

elle est légèrement différente de ω0 de l'oscillation non amortie dépendant de ζ .
Pour un petit ζ cependant (comme nous le trouvons dans un accéléromètre piézoélectrique), nous pouvons sans risque prendre ω0 au lieu de ωD .

Graphique montrant une oscillation sinusoïdale décroissante.

Oscillation sinusoïdale décroissante


Caractéristiques de fréquence d'un capteur sismique

Dans cette section, nous traitons des capteurs de vibrations inertielles ou des capteurs sismiques en général. Pour les accéléromètres piézoélectriques, nous pouvons utiliser le modèle mathématique sans amortissement, sauf pour la région autour de la résonance. La plupart des autres capteurs inertiels, qu'il s'agisse de capteurs de vitesse ou d'accélération, présentent généralement un amortissement important qui doit être pris en compte.

en cours de construction ...

Réponse en fréquence

 

Nous retenons:

  •  

  •  


Réponse en fréquence des capteurs inertiels

Comme modèle, nous utilisons le même oscillateur amorti. Cette fois, cependant, il ne reste pas immobile mais se déplace par rapport à l'espace stationnaire avec la fonction u=g(t). Nous imposons donc un mouvement à l'oscillateur et nous parlons de vibration forcée.

Un capteur construit de cette manière peut mesurer le déplacement, la vitesse ou l'accélération des vibrations, en fonction de la section de la plage de fréquences utilisée par le dispositif. La séparation se fait par la fréquence propre. En dessous de la fréquence propre, la vibration est mesurée en termes d'accélération et dans la plage de fréquence supérieure en tant que déplacement, tandis qu'autour de la fréquence propre, le signal du capteur correspond davantage à la vitesse du mouvement.

Dans le cas d'une vibration forcée, nous avons l'excitation ude la base et le mouvement relatif x de la masse.

La position de la masse m est donnée par u+x.
La force d'accélération devient donc

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Les forces du ressort et de l'amortissement entre la base et la masse sont relatives et restent les mêmes comme pour l'oscillateur fixe. Nous obtenons donc pour l'équation de l'équilibre des forces

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or

Graphique montrant un oscillateur ressort-masse amorti soumis à une vibration forcée.

Oscillateur ressort-masse soumis à une vibration forcée

Sur le côté droit se trouve la deuxième dérivée de la fonction motrice, c'est-à-dire l'accélération à la base du modèle. Nous choisissons donc

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c'est-à-dire une oscillation harmonique avec une amplitude d'accélération constante UA.

En utilisant à nouveau ω0 et ζ tels que définis précédemment, on obtient une équation différentielle similaire à celle de l'oscillation libre, mais elle est cette fois-ci inhomogène en raison du terme à droite:

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La solution de cette équation est constituée d'une première partie décroissante (comme précédemment en oscillation libre) et d'une seconde partie stationnaire, qui suit l'excitation u=g(t).
Après un certain temps, la première partie disparaît. Il reste la partie stationnaire de la solution, la fonction du déplacement x(t) de la masse par rapport à l'accélération de la base:

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Il est utile ici d'introduire la fréquence relative ωR sans dimension, c'est-à-dire le rapport entre la fréquence d'excitation et la fréquence propre.

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Il est également courant d'utiliser la représentation de la réponse en fréquence (divisée en réponse en amplitude et réponse en phase), c'est-à-dire le rapport entre l'amplitude de sortie et l'amplitude d'entrée en fonction de la fréquence d'excitation.

L'entrée  représente une accélération tandis que la sortie X dans notre modèle est un déplacement.

La réponse en fréquence est donc appelée réponse en amplitude de l'accélération Φa

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La dimension de la fonction est de [s²] car il s'agit du rapport déplacement / accélération

X0 / UA.

Le diagramme doublement logarithmique montre la fonction pour différentes valeurs de l'amortissement relatif ζ .

Voici la réponse en phase. Elle s'avère être symétrique par rapport à la résonance lorsqu'elle est tracée sur une échelle de fréquence logarithmique.

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La phase de la sortie est en retard sur l'entrée.

Graphique montrant la réponse de l'amplitude de l'accélération

Réponse en amplitude de l'accélération

Graphique montrant la réponse en fréquence de l'angle de phase

Réponse en fréquence de l'angle de phase


Fréquence de résonance

La résonance (du latin resonare:  répéter, renvoyer) est l'oscillation amplifiée d'un système vibratoire sous l'effet d'une excitation externe cyclique proche de la fréquence propre du système.
Avec chaque cycle, le système absorbe plus d'énergie, ce qui augmente continuellement l'amplitude du système jusqu'à ce que l'absorption d'énergie soit en équilibre avec la perte d'énergie par l'amortissement.

En technologie des capteurs, la résonance est simplement définie comme le maximum de la réponse en amplitude à un signal d'entrée d'amplitude constante mais de fréquence variable.
En fait, nous obtenons, pour des valeurs ζ plus élevées, des fréquences de résonance légèrement différentes selon que l'accélération, la vitesse ou le déplacement du signal d'entrée reste constant, pendant que la fréquence est balayée.
(Avec ζ = 0,1, la différence est d'environ 1%).

Fréquence de résonance d'accélération:

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Fréquence de résonance de la vitesse:

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Fréquence de résonance du déplacement:

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Mais comment se fait-il que l'on obtienne trois solutions différentes pour le même phénomène physique ?

Pour plus de détails (y compris la dérivation des formules), consulte la


Facteur de qualité Q et largeur de bande

La réponse en fréquence ou la fonction de transfert d'un oscillateur à une masse peut également être considérée comme un filtre passe-bande. L'amplification à la résonance est alors appelée facteur de qualité Q et la largeur du filtre est appelée largeur de bande B. Q et B dépendent tous deux de l'amortissement. L'amortissement de l'oscillateur peut donc être déterminé en mesurant l'amplitude maximale de la réponse Фv.

 

La relation suivante est applicable:

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L'amortissement d'un système est également caractérisé par la netteté ou la largeur du pic de résonance.
La différence de fréquence Δω mesurée à -3dB de v)max est appelée largeur de bande (-3dB correspond à Q/2).


Pour l'amortissement du système, nous trouvons pour de petites valeurs de ζ.

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Graphique montrant la relation entre le facteur de qualité et la bande passante

Facteur de qualité et bande passante

 


Fréquence propre de l'accéléromètre / Résonance

Très souvent, notamment en ce qui concerne les accéléromètres piézoélectriques, la fréquence propre est appelée résonance, mais au sens strict, la résonance est quelque chose de différent. Les deux notions sont étroitement liées mais pas identiques.
La fréquence à laquelle un système oscillerait après une excitation, s'il n'y avait pas de force motrice ni de force d'amortissement, est appelée fréquence propre.
Alors que la fréquence propre est une propriété interne du système, la résonance est l'interaction avec une excitation externe dont la fréquence est proche ou égale à sa fréquence propre. Pour les systèmes avec un amortissement substantiel, la fréquence de résonance est en fait légèrement différente de la fréquence propre, alors que pour un accéléromètre piézoélectrique, les deux valeurs peuvent être considérées comme identiques.


Éléments de design déterminants

Nous avons vu que la fréquence propre dépend de la masse d'inertie et de la constante du ressort. Dans un accéléromètre piézoélectrique, le "ressort" est constitué par l'empilement des éléments piézoélectriques.

La constante de ressort ki  de chaque pièce de l'élément sensible est donnée par la surface Ai  divisée par l'épaisseur ti  fois le module d'élasticité Ei 

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Avec les pièces disposées en série et la constante de ressort totale k devient  

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Croquis des éléments de construction qui influencent la fréquence propre.

Donc, pour une rigidité élevée, on préfère le plus petit nombre d'éléments avec une grande surface et une petite épaisseur. Outre le nombre de pièces, il y a aussi les interfaces entre elles qui réduisent la rigidité. Il faut donc faire attention à la planéité et à la qualité de surface de toutes les pièces.


Fréquence propre (résonance) montée et non montée.

Lors de la définition et du calcul de la fréquence propre du capteur (ou de l'oscillateur), nous avons supposé que la base était fixe dans l'espace. Dans le monde réel, c'est à peu près le cas lorsque le capteur est monté sur un corps lourd et rigide. Dans ce cas, le modèle de vibration a un nœud au niveau de la base et un antinœud à la masse d'inertie. Lorsque le capteur n'est pas monté, la masse sismique et la base oscillent en contre-action autour d'un nœud situé quelque part à l'intérieur de l'élément sensible. La fréquence propre du capteur libre, non monté, est donc considérablement plus élevée que lorsqu'il est monté.
Pour se faire une idée de la capacité haute fréquence d'un accéléromètre, il faut examiner la condition montée. La valeur non montée peut être utilisée pour vérifier la conformité d'un ensemble de capteurs, par exemple dans le cadre d'un contrôle de qualité.


Mesure de la fréquence propre / résonance

La fréquence propre f0 d'un accéléromètre piézoélectrique peut être excitée par une courte impulsion mécanique. Pour mesurer f0 dans l'état monté, nous avons besoin d'un bloc qui pèse au moins dix fois le poids du capteur et qui a un module d'élasticité élevé. Il est recommandé d'utiliser un cube en tungstène.


Les méthodes suivantes peuvent être utilisées pour mesurer la fréquence propre montée ou non montée.

Un choc mécanique peut être appliqué, par exemple, par une petite boule métallique attachée à un fil. Lorsque vous frappez avec la boule suspendue, il faut s'assurer qu'elle ne frappe pas deux fois.

Le croquis montre le choc de l'impact d'une bille d'acier

Impact de la bille d'acier

 

 

Une autre possibilité est la méthode de test de Hsu-Nielsen. Il s'agit d'une méthode simple dans laquelle un signal d'excitation avec une large gamme de fréquences est généré mécaniquement en cassant une mine de crayon. Développée à l'origine pour tester les capteurs d'émission acoustique, cette méthode est également excellente pour tester la fréquence propre d'un accéléromètre

Le croquis montre le choc par la méthode de test de Hsu Nielsen


Méthode de test de Hsu Nielsen

Après un tel impact, la masse inertielle "sonnera" à f0 et, avec un analyseur de signaux ou un enregistreur de transitoires, nous pouvons lire f0. En principe, le taux d'amortissement peut également être déterminé, bien que les signaux doivent être suffisamment propres pour le faire.
Nous devons tenir compte du fait que nous n'excitons pas seulement la fréquence propre de l'élément sensible, mais aussi de nombreuses autres fréquences de résonance au niveau du capteur. Cela signifie que nous devons généralement interpréter le résultat de la mesure de manière critique.

Il existe également une méthode complètement différente qui utilise l'effet piézoélectrique inverse pour exciter la fréquence propre / de résonance, en injectant un signal électrique.
Comme signal d'injection, nous choisissons une impulsion unique ou, alternativement, un bruit blanc.
En calculant la fonction de transfert FFT du signal injecté via le capteur par rapport au signal d'injection, on peut facilement déterminer la fréquence naturelle / de résonance.

Croquis montrant la méthode d'injection du signal

Méthode d'essai par injection de signal

 


Réponse en fréquence de l'accéléromètre


Réponse en fréquence dans la plage supérieure

L'une des principales caractéristiques d'un accéléromètre piézoélectrique est sa réponse en fréquence. Comme nous l'avons vu auparavant, la fonction de la réponse en fréquence dépend de la résonance du capteur.
La fréquence de résonance en tant que telle dépend fortement de la construction du capteur, mais l'allure de la courbe de réponse est généralement très proche de la courbe attendue en théorie

La figure montre la réponse en fréquence typique d'un accéléromètre piézo avec une forte amplification à la résonance. Nous trouvons des facteurs Q d'environ 50 ou même 100, ce qui signifie des valeurs de ζ de l'ordre de 0,01 à 0,005.
Pour la fréquence, nous utilisons la relation

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En règle générale, la courbe de réponse reste dans les 5% jusqu'à environ 1/5 de la fréquence de résonance et le point +3dB se situe à environ la moitié de la fréquence de résonance.

Le déphasage est négligeable en dessous de la résonance. Cependant, à la fréquence de résonance, il passe presque instantanément à -180°

Graphique montrant la réponse en fréquence d'un accéléromètre typique

Réponse en fréquence typique d'un accéléromètre


Réponse en fréquence dans la plage inférieure

Vers les basses fréquences, la reproduction correcte du signal d'accélération est limitée par le fait que la charge accumulée dans l'élément piézo décroît selon la constante de temps RC . Celle-ci est donnée par la capacité C et la résistance interne R de l'élément piézoélectrique.

Dans le domaine de fréquence, l'élément RC résulte en un filtre passe-haut avec la fréquence de coupure

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L'utilisation d'un amplificateur de charge permet d'augmenter la constante de temps considérablement et de diminuer énormément la fréquence de coupure du filtre passe-haut résultant. La constante de temps est alors imposée par le convertisseur de charge, à condition que la résistance interne de l'élément piézo soit suffisante.
On trouve les explications détaillées dans le chapitre "Conditionneurs de signal".

Graphique montrant la réponse en fréquence typique d'un filtre passe-haut unipolaire

Réponse en fréquence typique d'un filtre passe-haut unipolaire

La figure montre une caractéristique typique d'un tel filtre passe-haut unipolaire. A la fréquence de coupure fc, nous trouvons une atténuation de -3 dB. Si nous recherchons le point -5% nous devons aller dans la région d'environ 10 fois fc.


Éléments de design déterminants

Comme pour la plage dynamique d'un accéléromètre, nous constatons que pour la réponse en fréquence, la partie haute est plutôt définie par la conception mécanique du capteur tandis que la partie basse est plutôt donnée par l'électronique qui suit.
La réponse en fréquence à des fréquences plus élevées est déterminée par la résonance, nous devons donc considérer les mêmes points que ceux mentionnés pour la fréquence propre. En outre, il faut tenir compte du fait que la masse de l'accéléromètre peut influencer le comportement fréquentiel de l'objet mesuré ou créer une résonance supplémentaire dans le chemin de mesure mécanique. Cela signifie que le capteur ayant la masse la plus faible est en principe le meilleur pour mesurer les hautes fréquences.
En plus de la masse du capteur, la surface de montage de l'accéléromètre et la surface de contact avec l'objet mesuré sont particulièrement importantes.


Mesure de la réponse en fréquence et de la résonance

Pour mesurer la réponse en fréquence, nous utilisons essentiellement la même configuration que pour l'étalonnage. C'est-à-dire un montage dos à dos avec un bloc central sur lequel nous montons l'unité sous test d'un côté et un capteur de référence de l'autre côté. Bien entendu, la réponse en fréquence du capteur de référence joue également un rôle. Idéalement, il devrait avoir une résonance environ 10 fois plus haute que la plus haute fréquence à mesurer. Si ce n'est pas le cas, l'amplitude d'excitation doit être ajustée en conséquence. Avec une référence Laser, ce problème n'existe pas.
En outre, la plus grande attention doit être portée aux surfaces du bloc central. La planéité et la rugosité de ces surfaces ont une grande influence sur la fréquence de résonance. Pour les très hautes fréquences, un film d'huile doit être appliqué.

Unité sous test

Croquis montrant le montage pour la mesure de la réponse en fréquence.

Capteur de référence

Configuration pour la mesure de la réponse en fréquence

Pour effectuer un test de réponse en fréquence, soit nous réglons le signal d'excitation à des fréquences différentes fixes et relevons le signal de l'unité sous test, soit nous balayons lentement la fréquence du signal d'excitation entre la fréquence la plus basse et la plus haute.

En augmentant la fréquence jusqu'au maximum du signal de sortie de l'unité sous test, nous pouvons mesurer la résonance. Si nous sommes intéressés par le facteur Q, il faut veiller à ce que le pic de résonance soit réellement atteint par l'excitation et qu'il reste suffisamment longtemps pour que le maximum du signal soit vaiment atteint.


Influence de la surface / de l'état de l'accouplement

Le graphique montre une série de mesures réelles de la fréquence de résonance du même capteur monté sur un bloc avec différentes finitions de surface allant de ISO N3 (rodé) à N6 (rectifié). La résonance varie de 37,7 kHz à 27,2 kHz pour le montage à sec, ce qui correspond à une perte de 27 % !
Avec un film d'huile appliqué, le résultat est bien meilleur, mais l'influence de la surface est toujours visible

Graphique montrant la résonance de l'accéléromètre avec différentes qualités de surface et conditions de couplage.

Valeurs mesurées de la résonance de l'accéléromètre avec différentes qualités de surface et conditions de couplage