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Blackboard showing different formulas. Image source: Pixabay.com

Dérivation des caractéristiques de fréquence


Fréquence propre d'un oscillateur ressort-masse


Oscillateur ressort-masse sans amortissement

La base du modèle d'oscillateur ressort-masse est considérée comme fixe dans l'espace. Dans la position d'équilibre, prenons x = 0. La masse est m [kg] et la constante du ressort est k [N/m].

Pour obtenir une équation du mouvement, on identifie toutes les forces statiques et dynamiques. La force du poids m·g est invariante le long de x et dans le temps et peut donc être laissée de côté.

La force agissant sur la masse en raison de l'accélération est .

La deuxième force est causée par le ressort et vaut k·x.

Pour l'équilibre des forces, nous écrivons donc

C'est une équation différentielle homogène.

Pour la solution, on fait l'ansatz

x(t)=Ce^αt

L'équation caractéristique est la suivante

α^2+k/m=0
mx ̈+kx=0

or

x ̈+k⁄m x=0
Croquis de l'oscillateur ressort-masse non amorti.

Oscillateur ressort-masse non amorti

avec les solutions

α_1,2=± i √(k⁄m)
Picture9A.png

Avec                                         on trouve pour la solution de l'équation différentielle

x=A cos⁡(√(k⁄m)  ∙t)+B sin⁡(√(k⁄m)  ∙t)

A et B sont donnés par les conditions initiales. Si, par exemple, la déviation ou le déplacement x au temps 0 est égal à X 0, il en résulte que

x=X_0   cos⁡〖ω_0 t〗

Ceci est une oscillation continue, harmonique avec la fréquence ω₀. 

ω_0=√(k⁄m)

                        est appelée la fréquence propre du système.


Oscillateur ressort-masse avec amortissement

Nous ajoutons un "dashpot" amortisseur avec le coefficient d'amortissement c. La force de l'amortissement est supposée être proportionnelle à la vitesse et devient donc c · .

La dimension de[c ] est N/m/s or kg/s.  

La somme de toutes les forces amène à

mx ̈+cx ̇+kx=0

 

Il est utile ici d'introduire la notion d'amortissement relatif  ζ qui est défini comme suit

ζ=c/(2√mk)=c/(2mω_0 )
Croquis montrant l'oscillateur ressort-masse avec amortissement

Oscillateur ressort-masse avec amortissement

C'est-à-dire que l'amortissement est mis en relation avec m et ω0 . Le "2" est un facteur arbitraire.

Avec                       , l'équation différentielle peut être écrite sous la forme

ω_0=√(k⁄m)
x ̈+2ζω_0 x ̇+ω_0^2 x=0

L'équation différentielle est à nouveau homogène et nous faisons le même ansatz

x(t)=Ce^αt

L'équation caractéristique est alors

α^2+2ζω_0 α+ω_0^2=0

avec les solutions

α_1,2=[-ζ±√(ζ^2-1)  ] ω_0

Pour ζ = 0, on obtient à nouveau le résultat pour l'oscillateur non amorti.
Ici nous sommes plutôt intéressés par le cas d'un oscillateur faiblement amorti, c'est-à-dire ζ < 1. L'expression sous la racine devient alors négative et les solutions de l'équation caractéristique sont

α_1,2=-ζω_0±i√(〖1-ζ〗^2 )  ω_0

Elles sont complexes conjuguées.
La solution totale est égale à la somme des solutions particulières et devient

x(t)=C_1 e^(α_1 t)+C_2 e^(α_2 t)

Si on met la partie imaginaire

√(〖1-ζ〗^2 )  ω_0=ω_D

on obtient

x= e^(-ζω_0 t) (A cos⁡〖ω_D t〗+B sin⁡〖ω_D t〗 )

A et B sont à nouveau déterminés par les conditions initiales.

Avec x(t=0)=0 par exemple, la solution devient

x= A∙e^(-ζω_0 t)  〖∙cos〗⁡〖ω_D t〗

Il s'agit d'une oscillation sinusoïdale de fréquence ωD et d'amplitude initiale A.

The oscillation frequency ωest la fréquence propre amortie. On remarque qu'elle est légèrement différente de ω0 de l'oscillation non amortie, en fonction de ζ .


Caractéristiques de fréquence du capteur sismique


Dérivation de la fonction de transfert

Contrairement à ce qui précède, nous appliquons maintenant un mouvement u=g(t) à la base. Ainsi, nous forçons l'oscillateur à vibrer. La position de la masse m est donnée par u+x.

La force d'accélération devient donc

m∙(d^2 (u+x))/(dt^2 )

Pour l'équilibre des forces (nous pouvons à nouveau laisser de côté la force de poids statique), nous trouvons l'équation suivante

m (d^2 (u+x))/(dt^2 )+c dx/dt+kx=0
m (d^2 x)/(dt^2 )+c dx/dt+kx=-m (d^2 u)/(dt^2 )

  ou

divisé par m , et en introduisant

〖ω_0〗^2=k/m   and    ζ=c/(2mω_0 )

and

on obtient la même équation différentielle que pour l'oscillation libre, mais qui devient inhomogène à cause du terme à droite.

Croquis montrant un oscillateur ressort-masse soumis à une vibration forcée.

Oscillateur ressort-masse soumis à une vibration forcée

(d^2 x)/(dt^2 )+2ζω_0  dx/dt+ω_0^2 x=-(d^2 u)/(dt^2 )

La solution consiste en la superposition de la solution de l'équation différentielle homogène et d'une solution particulière de l'équation différentielle inhomogène.
On obtient ainsi une première partie décroissante, comme dans le cas d'une oscillation libre, ainsi qu'une deuxième partie, qui suit l'excitation u=g(t).

Comme fonction d'excitation, nous choisissons une oscillation harmonique (avec une amplitude de déplacement constante).

u= U_0  cos⁡ωt

avec les dérivées

du/dt= -ωU_0  sin⁡ωt

et

(d^2 u)/(dt^2 )= 〖-ω〗^2 U_0  cos⁡ωt

L'équation différentielle devient donc

(d^2 x)/(dt^2 )+2ζω_0  dx/dt+ω_0^2 x=ω^2 U_0  cos⁡ωt

Pour la solution, on prend l'ansatz

x(t)= A cos⁡ωt+B sin⁡ωt

En dérivant et en substituant, on obtient

[(ω_0^2-ω^2 )A+2ζω_0 ωB]  cos⁡ωt+[-2ζω_0 ωA+(ω_0^2-ω^2 )B]  sin⁡ωt=ω^2 U_0  cos⁡ωt
[(ω_0^2-ω^2 )A+2ζω_0 ωB]  cos⁡ωt+[-2ζω_0 ωA+(ω_0^2-ω^2 )B]  sin⁡ωt=ω^2 U_0  cos⁡ωt

Une comparaison des coefficients conduit au système d'équations suivant pour A et B

■((ω_0^2-ω^2 )A+      2ζω_0 ω B=ω^2 U_0@  -2ζω_0 ωA+(ω_0^2-ω^2 )B=0      )

Le déterminant des coefficients est calculé comme suit:

∆ =(ω_0^2-ω^2 )^2+(2ζω_0 ω)^2

Les deux solutions du système d'équations sont les suivantes

A=(ω_0^2-ω^2)/∆∙ω^2 U_0         B=(2ζω_0 ω)/∆∙ω^2 U_0

and

et par conséquent

x(t)= A cos⁡ωt+B sin⁡ωt=(U_0 ω^2)/∆ [(ω_0^2-ω^2 )  cos⁡ωt+(2ζω_0 ω)  sin⁡ωt ]

Nous écrivons

x(t)= A cos⁡ωt+B sin⁡ωt           x(t)=X_0  cos⁡(ωt-φ)

sous la forme

x(t)= A cos⁡ωt+B sin⁡ωt           x(t)=X_0  cos⁡(ωt-φ)

Pour l'amplitude et l'angle de phase, on obtient

▁(X_0 )=√(A^2+B^2 )=▁(ω^2/√∆∙U_0 )
〖▁(tan⁡φ )=B/A〗⁡=  (2ζω_0 ω)/(ω_0^2-ω^2 )=▁((2ζ ω/ω_0 )/(1-(ω/ω_0 )^2 ))

et donc le résultat final de la
fonction de transfert générale:

x(t)=ω^2/√((ω_0^2-ω^2 )^2+(2ζω_0 ω)^2 )∙U_0  cos⁡(ωt-φ)


Réponse en fréquence du déplacement, de la vitesse et de l'accélération

Le signe moins dans

x(t)= A cos⁡ωt+B sin⁡ωt           x(t)=X_0  cos⁡(ωt-φ)

indique que le signal de sortie est en retard sur l'entrée.

Pour plus de facilité et pour obtenir des résultats transférables, il est préférable d'utiliser la représentation de la réponse en fréquence. La réponse en fréquence est une fonction complexe de la fréquence et décrit le signal de sortie par rapport à un signal d'entrée sinusoïdal en termes d'amplitude et de phase.

Pour le moment, nous ne considérons que la réponse en amplitude, c'est-à-dire le rapport entre l'amplitude de sortie et l'amplitude d'entrée en fonction de la fréquence.


Réponse en fréquence du déplacement

Toujours avec l'amplitude de sortie X0 et l'amplitude d'entrée U0, nous obtenons à partir de la fonction de transfert générale la réponse en amplitude

X_0/U_0 =ω^2/√((ω_0^2-ω^2 )^2+(2ζω_0 ω)^2 )

Cette fonction fournit un facteur d'amplification pour chaque fréquence et est donc également appelée fonction d'amplification.

 

Nous introduisons également la fréquence relative sans dimension ωR, c'est-à-dire la fréquence d'excitation par rapport à la fréquence propre.

ω_R=ω/ω_0

Pour cela, nous étendons l'expression de la réponse en fréquence avec 1/ω0² pour obtenir la réponse en déplacement (sans dimension).

Φ_d=X_0/U_0 =〖ω_R〗^2/√((1-〖ω_R〗^2 )^2+(2ζω_R )^2 )

Dans notre modèle ci-dessus, l'entrée U et la sortie sont toutes deux des déplacements et la réponse en fréquence est donc appelée

réponse en amplitude du déplacement Φd.

Le diagramme bi-logarithmique montre la fonction pour des valeurs différentes de l'amortissement relatif ζ .

Nous pouvons voir que pour des fréquences bien au-dessus de la fréquence propre, le rapport de transfert devient 1.

Graphique montrant la réponse de l'amplitude du déplacement

Réponse en amplitude de déplacement

Cela signifie que dans cette région, nous avons un comportement de déplacement de 1 à 1. Près de la fréquence propre, nous trouvons une amplification plus ou moins prononcée en fonction de ζ avec un maximum à la fréquence de résonance. En dessous de la résonance, la courbe présente une pente de 40 dB par décade.


Réponse en fréquence de l'accélération

Pour la réponse en fréquence avec un signal d'accélération en entrée, nous devons dériver la fonction d'entrée deux fois.

(d^2 u)/(dt^2 )= 〖-ω〗^2 U_0  cos⁡ωt

Le signe négatif concerne en fait l'angle de phase et nous pourrions également écrire

(d^2 u)/(dt^2 )= ω^2 U_0  cos⁡(ωt-π)

Comme la phase ne nous intéresse pas à ce moment, nous pouvons la mettre à zéro et on obtient la

réponse en amplitude de l'accélératio Φ :

Picture44A.png
Graph showing acceleration amplitude response

Réponse en amplitude de l'accélération

La dimension de la fonction est [s²] car elle exprime [déplacement X/ accélération Ü0 ].

Du fait de la double dérivation, la fonction penche maintenant de l'autre côté. C'est-à-dire qu'en termes d'accélération, nous trouvons un transfert direct dans le domaine des fréquences en dessous de la fréquence propre, tandis que nous trouvons une décroissance de -40dB par décade pour les hautes fréquences. La zone au niveau de la résonance ressemble à la réponse de déplacement.


Réponse en fréquence de la vitesse

Enfin, nous pouvons calculer et tracer la fonction d'amplification pour une entrée en termes de vitesse et nous obtenons la

réponse en amplitude de la vitesse Φv .

Φ_v=1/ω_0 ∙ω_R/√((1-〖ω_R〗^2 )^2+(2ζω_R )^2 )

La fonction est maintenant symétrique autour de la fréquence propre (axe de la fréquence logarithmique). La dimension de la fonction est

[déplacement / vitesse] = [s].

Graphique montrant la réponse de l'amplitude de la vitesse

Réponse en amplitude de la vitesse


Réponse de l'angle de phase φ

Dans la fonction de transfert générale, nous trouvons l'angle de phase φ dans la fonction de sortie.
Le comportement de l'angle de phase est le même dans les trois cas, déplacement, vitesse et accélération :

φ⁡=  arctan⁡〖(2ζω_R)/(1-〖ω_R〗^2 )〗

Le changement de phase par la résonance ne doit pas être confondu avec le fait que le déplacement, la vitesse et l'accélération sont chacun décalés de π/2.

Graphique montrant la phase de la fonction de transfert générale

Progression de la phase de la fonction de transfert générale


Réponse en phase

La réponse en phase, qui fait partie de la réponse en fréquence, est définie comme le déphasage entre le signal de sortie et le signal d'entrée et est donc égale à -φ.


Fréquence de résonance

En technologie des capteurs, la résonance est définie comme le maximum de l'amplitude de sortie pour une amplitude d'entrée constante.
Par conséquent, compte tenu des trois fonctions de réponse en amplitude différentes, nous obtenons également des fréquences de résonance différentes pour le déplacement, la vitesse et l'accélération. Nous pouvons obtenir ces valeurs en dérivant la fonction Φ  et en la mettant égale 0.

Pour la résonance en accélération par exemple, nous obtenons

(dΦ_a)/(dω_R )=1/〖ω_0〗^2 ∙(4ζ^2 ω_R-2ω_R (1-〖ω_R〗^2))/[(1-〖ω_R〗^2 )^2+4ζ^2 〖ω_R〗^2 ]^(3⁄2)

et nous trouvons le zéro à

ω_R=√(1-〖2ζ〗^2 )

On obtient ainsi pour les différentes fréquences de résonance de manière analogique:

Fréquence de résonance de l'accélération:

[ω_res ]_a=ω_0∙√(1-〖2ζ〗^2 )

Fréquence de résonance de la vitesse:

[ω_res ]_v=ω_0

Fréquence de résonance du déplacement :

[ω_res ]_d=ω_0∙1/√(1-〖2ζ〗^2 )


Comment peut-on obtenir trois solutions différentes pour le même phénomène physique?

À la fréquence de résonance, l'oscillateur absorbe la puissance maximale. La puissance étant égale à la force multipliée par la vitesse, on trouve ce maximum lorsque l'angle de phase du signal de sortie x est égal à π/2. Dans cette condition, l'amplitude du système augmente sans cesse jusqu'à ce que l'absorption d'énergie soit en équilibre avec la perte d'énergie due à l'amortissement.
Cela signifie que le phénomène physique de la résonance se produit toujours à un angle de phase de π/2 et ceci est toujours le cas à ω= ω0 .
Alors, pour obtenir la "vraie" résonance (physique), nous devons maintenir l'amplitude de la vitesse du signal d'entrée à niveau constant. On constate qu'alors la résonance est à ω0 .

Avec une accélération constante, l'amplitude de la vitesse diminue avec l'augmentation de la fréquence avec le facteur 10 par décade. Cela signifie que l'énergie appliquée devient plus importante aux fréquences inférieures à ω0 et donc que l'amplitude maximale se déplace vers le bas.
La même chose, mais en sens inverse, est vraie pour un déplacement constant. Ici, la résonance d'amplitude maximale est déplacée vers le haut.

Caractéristiques fréquence
Fréquence de résonance
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