Équations fondamentales de la piézoélectricité
Les équations fondamentales de la piézoélectricité sont dérivées du bilan énergétique thermodynamique. Les énergies concernées sont mécaniques, électriques et thermiques. Afin de ne pas compliquer les choses, nous ne regardons pas l'énergie thermique à ce stade. Pour notre objectif, nous avons besoin de l'interaction entre le comportement électrique et mécanique.
Pour y arriver, nous devons creuser plus loin.
Le comportement électrique d'un diélectrique (ou d'un matériau piézo non contraint) sous l'influence d'un champ électrique est décrit par l' intensité du champ E et le déplacement diélectrique D.
D = ε E [D]=C/m² (Coulomb per meter ²)
ε est la permittivité du matériau.
Le déplacement D est également appelé densité de flux électrique ou densité de charge.
Le comportement mécanique du même matériau, à intensité de champ électrique nulle, est défini par deux grandeurs mécaniques, la contrainte appliquée T et la déformation S :
S = s T [S]=m/m (meter per meter)
s est la compliance du matériel.
Pour le piézo, on doit inclure la polarisation. La description complète de l'interaction mécanique-électrique peut être faite avec une bonne approximation par des relations linéaires comme suit:
S =sᴱ∙T+d∙E
D=d∙T+eᵀ∙E
Dans ces deux relations, la constante piézoélectrique de charge d apparaît.
Nous concluons que d peut être défini comme un quotient de S et E ou D et T.
En fait, l'ensemble d'équations ci-dessus sont des équations tensorielles avec 3 grandeurs électriques (dans les directions 1, 2 et 3) et 6 grandeurs mécaniques à savoir la contrainte normale dans les trois directions et la contrainte de cisaillement autour des trois axes. Cela signifie que pour chaque paramètre piézoélectrique dans le cas le plus général, jusqu'à 18 variables peuvent exister, indiquées par des indices.
Si nous le rédigeons (pour le plaisir), cela ressemble à ceci:
Ainsi, par exemple, D1 serait calculé comme suit
Heureusement, dans la plupart des cas, de nombreux éléments de la matrice ci-dessus sont nuls ou, en raison de la symétrie du cristal, au moins égal à un autre élément.
Le choix des variables indépendantes (mécanique T et électrique E ) est arbitraire. Si nous choisissons le déplacement D au lieu de E comme variable électrique indépendante, nous obtenons la paire de relations suivante:
E=−g∙T+ D/εᵀ
S=sᴰ∙T+ g∙D
Maintenant, la constante piézoélectrique de tension g apparaît et nous voyons que g peut être exprimé comme un quotient de E et T ou de S et D.
Une paire donnée d'équations piézoélectriques correspond à un choix déterminé de variables indépendantes. De la même manière, il est possible d'arriver à des paires de relations encore différentes :
E = −h∙S+D/εˢ D = d∙S+ εˢ∙E
T = cᴰ∙S−h∙D T = cᴱ∙S−e∙E
Les termes cᴰ et cᴱ sont les rigidités élastiques (contrainte par déformation unitaire);
h et e sont des constantes piézoélectriques. Ils sont rarement utilisés dans la pratique et ne sont mentionnés ici que dans un objectif plus général.