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L'effet piézoélectrique

Constantes piézoélectriques

 

Vue d'ensemble

Jusqu'à présent, nous n'avons examiné que les qualités caractéristiques de l'effet piézo. Afin de faire également une analyse quantitative, nous avons besoin de chiffres, par exemple pour comparer des matériaux ou pour prédire une sensibilité d'un accéléromètre.

Dans le monde de la piézoélectricité, les symboles suivants sont le plus souvent utilisés:

E = champ électrique
D = déplacement électrique
T = contrainte mécanique
S = déformation mécanique
s = compliance élastique, la valeur inverse du module d'élasticité de Young Y (s = 1 / Y)
ε = permittivité (parfois la lettre K est utilisée pour la permittivité relative)
d = constante de charge piézoélectrique
g = constante de tension piézoélectrique
k = coefficient de couplage

Le nombre qui quantifie l'effet piézoélectrique d'un matériau est appelé constante piézoélectrique . Le plus important pour nos applications est la constante de charge piézoélectrique d qui nous indique dans quelle mesure le matériau transforme la contrainte mécanique en charge électrique.

 

d = P / T  la dimension de d est [d] = C / N  (Coulombs par Newton)

             ou plus commodément [d] = pC / N  (pico Coulombs par Newton)

P est la polarisation [P] = C / m²  

T est la contrainte mécanique [T] = Pa = N / m²

 

La constante de charge piézoélectrique d donne la polarisation P générée par unité de contrainte mécanique T appliquée à un corps piézoélectrique.

Cependant, cette équation simple est seulement correcte lorsque la température reste constante, le champ électrique initial est égal à zéro et lorsque nous avons une condition de contrainte uniaxiale, ce qui signifie soit une compression ou une tension sur un seul axe, soit une condition de cisaillement sur un seul axe.  (Pour plus d'informations, voir la page rouge)

Un détail intéressant de la constante de charge est apparent quand on regarde sa dimension: Elle est indépendante de la surface, ce qui signifie que la charge que nous collectons d'un corps piézo-électrique ne dépend que de la force que nous appliquons, pas de la taille de la piézo!

Les indices de direction

  • Les directions de x, y et z pour les grandeurs générales sont représentées par 1, 2 et 3

  • La contrainte de cisaillement autour des axes 1, 2 et 3 est représentée par les nombres 4, 5 et 6 respectivement

  • Pour les céramiques piézo, la direction de polarisation positive est généralement l'axe 3. (sous compression, la polarité de la charge est identique à celle du champ de polarisation initial)

Les indices i et k signifient:

Notation of axes

Notation des axes

i k

d

k = direction d'action mécanique

i = direction du champ électrique

  = direction perpendiculaire aux électrodes

Exemples d' indices

Constante piézoélectrique de charge  dik       [C/N]

Mode de compression

d 33 indiquerait la polarisation générée dans la direction 3

par unité de contrainte de compression mécanique (T)

appliquée dans la direction 3 au corps piézoélectrique.

(       passe la souris sur l'image pour appliquer une force)

Cube Axen .png
charge up the ping-pong balls by hovering
Cube png.png
Cube d33 .png

Mode transversal

d 31 est la polarisation développée dans la direction 3

par unité de contrainte appliquée dans la direction 1

(toutes les autres contraintes externes = 0).


Cube Axen .png
charge up the ping-pong balls by hovering
Cube png.png
Cube d31 .png

Mode de cisaillement

d 15 signifie la polarisation développée dans la direction 1

par unité de contrainte de cisaillement 5 appliquée (= cisaillement autour de la direction 2)

lorsqu'il n'y a pas d'autres contraintes externes.

Remarque: Les entrées mécaniques ci-dessus sont uniaxiales. Toute autre entrée mécanique (cisaillement ou compression) est égale à zéro.

Cube Axen .png
charge up the ping-pong balls by hovering
Cube png.png
Cube d15 .png

Constante piézoélectrique de tension g ik [Vm / N]

g 31 est le champ électrique développé dans la direction 3 par unité de contrainte appliquée dans la direction 1 lorsqu'il n'y a pas d'autres contraintes externes.

La relation entre la constante de tension et la constante de charge est

Coefficient de couplage k ik [./.]

k 13 désigne le coefficient de couplage entre l'énergie mécanique apportée dans le sens 1 et l'énergie obtenue dans le sens 3 ou vice-versa.

Le facteur de couplage électromécanique k   est un indicateur de l'efficacité avec laquelle un matériau piézoélectrique convertit l'énergie électrique en énergie mécanique ou convertit l'énergie mécanique en énergie électrique.

Formel1.png

Effet piézo inverse d ik [m / V]

d 33 est l'allongement dans la direction 3 par unité de champ électrique appliquée dans la direction 3, le corps piézoélectrique étant mécaniquement libre et les champs électriques dans les directions 1 et 2 sont nuls.

Dans la documentation ou les fiches techniques, on trouve d généralement avec deux indices d ik

En raison de la nature anisotrope des matériaux piézoélectriques, leurs propriétés (élasticité, permittivité, constante de charge, etc.) dépendent de la direction. Mathématiquement, ils sont appelés quantités tensorielles. Pour cette raison, les constantes sont écrites avec deux indices qui se réfèrent à la direction de la quantité.

Pour identifier les directions dans un élément piézoélectrique, trois axes orthogonaux sont utilisés. Ces axes sont nommés 1, 2 et 3, par analogie à x, y et z de l'ensemble d'axes tridimensionnel classique.

 

Constantes matérielles et superscripts de condition

Dans la littérature ou les fiches techniques, on trouve des expressions comme s , s , ε , ε ˢ , etc. Elles nécessitent des explications supplémentaires. Les superscripts des symboles indiquent la quantité qui est maintenue constante dans les conditions limites.

Exemples de superscipts de condition

s 11 = compliance pour une contrainte (de traction) et une déformation associée dans la direction 1

           à champ électrique constant (= court-circuit des électrodes).

s 36 = compliance pour une contrainte de cisaillement autour de l'axe 3 et déformation résultante

            dans la direction 3 à déplacement électrique constant (= circuit ouvert des électrodes).

ε 11 = permittivité pour le déplacement diélectrique et le champ électrique dans la direction 1 à 

           contrainte constante (= mécaniquement libre).

ε ˢ 33 = permittivité dans la direction 3 à déformation constante (= serré mécaniquement)

Équations fondamentales

Si tu es intéressé par plus d'équations fundamentales, visite la

 

Sensibilité d'un élément piézoélectrique

The capacity C  is  C = ɛ · A / t

Le plus souvent, lorsque nous utilisons une constante piézoélectrique, nous voulons la sensibilité, soit la charge électrique Q ou la tension V qu'on obtient lorsqu'on appliqe une certaine force F.

Pro mémoire: La constante de charge d était la polarisation P par unité de contrainte mécanique T

 

d = P / T

P = Q / A (charge électrique par surface)

T = F / A (charge mécanique par surface)

alors

d = Q / F    ou     Q = d · F    ( il suffit de prévoir le dik adéquat )

 

Nous savons que la charge est répartie sur la surface, ce qui pourrait donner l'impression qu'une augmentation de la surface augmenterait également la charge. Cependant, si nous le faisons, la force est également répartie sur une plus grande surface et la contrainte diminue proportionnellement.

Comme nous l'avons vu précédemment, la charge de sortie est indépendante de la taille de l'élément piézoélectrique.

Pour calculer la sensibilité à la tension, cela devient un peu plus compliqué. On peut obtenir la tension grâce à la capacité de l'élément piézoélectrique.

La tension U d'un condensateur C est donnée par U = Q / C

L'élément piézo est un condensateur à plaques parallèles

avec la surface A et l'épaisseur t .

Sa capacité C est

C = ɛ · A / t

Ainsi, la tension produite par la force F devient

           d · F · t

U  =  –––––––––

             ɛ · A

et avec d / ɛ = g                 U = g · F · t / A 

On voit que la première partie de l'équation est analogue à la formule de charge mais elle a une extension, un «facteur de forme» t / A.

La tension de sortie dépend donc de la taille et de la forme de l'élément piézo!

L'effet pyroélectrique

Certains des cristaux piézoélectriques et toutes les céramiques piézoélectriques possèdent un axe polaire unique, même à l'état non contraint. Lorsque le piézo est soumis à un changement de température il en résulte un changement de polarisation et l'apparition d'une charge électrique à la surface. C'est ce qu'on appelle l'effet pyroélectrique . Le coefficient pyroélectrique p est défini comme la variation du vecteur de polarisation spontanée P  avec la température T.

p = d P / dT

 

p est également un vecteur et la dimension scalaire est [p] = C · m ⁻² · K ⁻¹

La polarisation spontanée de ces matériaux piézo n'est donc pas constante mais elle varie avec la température. En regardant la structure cristalline du PZT par exemple, nous pouvons imaginer que l'ion central positif (rouge) change légèrement sa position relative par rapport aux oxygènes chargés négativement (vert) lorsque le cristallite est soumis à une autre température.

PZT build block

Le coefficient pyroélectrique total qui apparaît à contrainte constante (= mécaniquement libre) est la somme d'un effet pyroélectrique primaire qui existerait à contrainte constante (= bloqué mécaniquement) et d'un effet pyroélectrique secondaire qui est dû à l'expansion thermique du matériau piézoélectrique.

Cela signifie que l'effet pyroélectrique est en réalité une charge quasi statique qui est en relation fixe avec la température. La question demeure pourquoi pouvons-nous l'observer uniquement lors d'un changement de température? En effet, la résistance interne de l'élément piézo n'est pas infinie et un petit courant circule d'une électrode à l'autre et les charges pyroélectriques disparaissent à nouveau.