Vue d'ensemble
Jusqu'à présent, nous n'avons examiné que les qualités caractéristiques de l'effet piézo. Afin de faire également une analyse quantitative, nous avons besoin de chiffres, par exemple pour comparer des matériaux ou pour prédire une sensibilité d'un accéléromètre.
Dans le monde de la piézoélectricité, les symboles suivants sont le plus souvent utilisés:
E = champ électrique
D = déplacement électrique
T = contrainte mécanique
S = déformation mécanique
s = compliance élastique, la valeur inverse du module d'élasticité de Young Y (s = 1/Y)
ε = permittivité (parfois la lettre K est utilisée pour la permittivité relative)
d = constante de charge piézoélectrique
g = constante de tension piézoélectrique
k = coefficient de couplage
Le nombre qui quantifie l'effet piézoélectrique d'un matériau est appelé constante piézoélectrique . Le plus important pour nos applications est la constante de charge piézoélectrique d qui nous indique dans quelle mesure le matériau transforme la contrainte mécanique en charge électrique.
d = P / T la dimension de d est [d] = C / N (Coulombs par Newton)
ou plus commodément [d] = pC / N (pico Coulombs par Newton)
P est la polarisation [P] = C / m²
T est la contrainte mécanique [T] = Pa = N / m²
La constante de charge piézoélectrique d donne la polarisation P générée par unité de contrainte mécanique T appliquée à un corps piézoélectrique.
Cependant, cette équation simple est seulement correcte lorsque la température reste constante, le champ électrique initial est égal à zéro et lorsque nous avons une condition de contrainte uniaxiale, ce qui signifie soit une compression ou une tension sur un seul axe, soit une condition de cisaillement sur un seul axe. (Pour plus d'informations, voir la page rouge)
Un détail intéressant de la constante de charge est apparent quand on regarde sa dimension: Elle est indépendante de la surface, ce qui signifie que la charge que nous collectons d'un corps piézo-électrique ne dépend que de la force que nous appliquons, pas de la taille de la piézo!
Les indices de direction
-
Les directions de x, y et z pour les grandeurs générales sont représentées par 1, 2 et 3
-
La contrainte de cisaillement autour des axes 1, 2 et 3 est représentée par les nombres 4, 5 et 6 respectivement
-
Pour les céramiques piézo, la direction de polarisation positive est généralement l'axe 3. (sous compression, la polarité de la charge est identique à celle du champ de polarisation initial)
Les indices i et k signifient:
i k
d
k = direction d'action mécanique
i = direction du champ électrique
= direction perpendiculaire aux électrodes
Axes pour spécifier les constantes piézoélectriques
Exemples d' indices
Constante piézoélectrique de charge dik [C/N]
Mode de compression
d33 indiquerait la polarisation générée dans la direction 3
par unité de contrainte de compression mécanique (T)
appliquée dans la direction 3 au corps piézoélectrique.
( passe la souris sur l'image pour appliquer une force)
Mode transversal
d31 est la polarisation développée dans la direction 3
par unité de contrainte appliquée dans la direction 1
(toutes les autres contraintes externes = 0).
Mode de cisaillement
d15 signifie la polarisation développée dans la direction 1
par unité de contrainte de cisaillement 5 appliquée (= cisaillement autour de la direction 2)
lorsqu'il n'y a pas d'autres contraintes externes.
Remarque: Les entrées mécaniques ci-dessus sont uniaxiales. Toute autre entrée mécanique (cisaillement ou compression) est égale à zéro.
Constante piézoélectrique de tension gik [Vm / N]
g31 est le champ électrique développé dans la direction 3 par unité de contrainte appliquée dans la direction 1 lorsqu'il n'y a pas d'autres contraintes externes.
La relation entre la constante de tension et la constante de charge est
d=εᵀg ou g=d/εᵀ
Le superscript (exposant) T indique que cette valeur est obtenue à contrainte constante T
Coefficient de couplage kik [./.]
k13 désigne le coefficient de couplage entre l'énergie mécanique apportée dans le sens 1 et l'énergie obtenue dans le sens 3 ou vice-versa.
Le facteur de couplage électromécanique k est la mesure de l'efficacité avec laquelle un matériau piézoélectrique convertit l'énergie électrique en énergie mécanique ou convertit l'énergie mécanique en énergie électrique.
converted energy
k² = –––––––––––––
input energy
Effet piézo inverse dik [m / V]
d33 est l'allongement dans la direction 3 par unité de champ électrique appliquée dans la direction 3, le corps piézoélectrique étant mécaniquement libre et les champs électriques dans les directions 1 et 2 sont nuls.
Dans la documentation ou les fiches techniques, on trouve d généralement avec deux indices dik
En raison de la nature anisotrope des matériaux piézoélectriques, leurs propriétés (élasticité, permittivité, constante de charge, etc.) dépendent de la direction. Mathématiquement, ils sont appelés quantités tensorielles. Pour cette raison, les constantes sont écrites avec deux indices qui se réfèrent à la direction de la quantité.
Pour identifier les directions dans un élément piézoélectrique, trois axes orthogonaux sont utilisés. Ces axes sont nommés 1, 2 et 3, par analogie à x, y et z de l'ensemble d'axes tridimensionnel classique.
Constantes matérielles et superscripts de condition
Dans la littérature ou les fiches techniques, on trouve des expressions comme sᴰ, sᴱ, εᵀ, εˢ etc. Elles nécessitent des explications supplémentaires. Les superscripts (exposants) des symboles indiquent en effet la quantité maintenue constante dans les conditions aux limites.
Exemples de superscipts de condition
sᴱ11 = compliance pour une contrainte (de traction) et une déformation associée dans la direction 1
à champ électrique constant (= court-circuit des électrodes).
sᴰ36 = compliance pour une contrainte de cisaillement autour de l'axe 3 et déformation résultante
dans la direction 3 à déplacement électrique constant (= circuit ouvert des électrodes).
εᵀ11 = permittivité pour le déplacement diélectrique et le champ électrique dans la direction 1
à contrainte constante (= mécaniquement libre).
εˢ33 = permittivité dans la direction 3 à déformation constante (= serré mécaniquement)
Sensibilité d'un élément piézoélectrique
Le plus souvent, lorsque nous utilisons une constante piézoélectrique, nous voulons la sensibilité, soit la charge électrique Q ou la tension V qu'on obtient lorsqu'on appliqe une certaine force F.
Pro mémoire: La constante de charge d était la polarisation P par unité de contrainte mécanique T
d = P / T
P = Q / A (charge électrique par surface)
T = F / A (charge mécanique par surface)
alors
d = Q / F ou Q = d · F ( il suffit de prévoir le dik adéquat )
Nous savons que la charge est répartie sur la surface, ce qui pourrait donner l'impression qu'une augmentation de la surface augmenterait également la charge. Cependant, si nous le faisons, la force est également répartie sur une plus grande surface et la contrainte diminue proportionnellement.
Comme nous l'avons vu précédemment, la charge de sortie est indépendante de la taille de l'élément piézoélectrique.
Pour calculer la sensibilité à la tension, cela devient un peu plus compliqué. On peut obtenir la tension grâce à la capacité de l'élément piézoélectrique.
La tension U d'un condensateur C est donnée par U = Q / C
L'élément piézo est un condensateur à plaques parallèles
avec la surface A et l'épaisseur t .
Sa capacité C est
C = ε · A / t
Ainsi, la tension produite par la force F devient
d · F · t
U = –––––––––
ε · A
et avec d / ε = g U = g · F · t / A
On voit que la première partie de l'équation est analogue à la formule de charge mais elle a une extension, un «facteur de forme» t / A.
La tension de sortie dépend donc de la taille et de la forme de l'élément piézo!
L'effet pyroélectrique
Certains des cristaux piézoélectriques et toutes les céramiques piézoélectriques possèdent un axe polaire unique, même à l'état non contraint. Lorsque le piézo est soumis à un changement de température il en résulte un changement de polarisation et l'apparition d'une charge électrique à la surface. C'est ce qu'on appelle l'effet pyroélectrique. Le coefficient pyroélectrique p est défini comme la variation du vecteur de polarisation spontanée P avec la température T.
p = d P / dT
p est également un vecteur et la dimension scalaire est [p] = C · m ⁻² · K ⁻¹
La polarisation spontanée de ces matériaux piézo n'est donc pas constante mais elle varie avec la température. En regardant la structure cristalline du PZT par exemple, nous pouvons imaginer que l'ion central positif (rouge) change légèrement sa position relative par rapport aux oxygènes chargés négativement (vert) lorsque le cristallite est soumis à une autre température.
Le coefficient pyroélectrique total qui apparaît à contrainte constante (= mécaniquement libre) est la somme d'un effet pyroélectrique primaire qui existerait à déformation constante (= mécaniquement bloqué) et d'un effet pyroélectrique secondaire qui est dû à l'expansion thermique du matériau piézoélectrique.
Cela signifie que l'effet pyroélectrique est en réalité une charge quasi statique qui est en relation fixe avec la température. La question demeure pourquoi pouvons-nous l'observer uniquement lors d'un changement de température? En effet, la résistance interne de l'élément piézo n'est pas infinie et un petit courant circule d'une électrode à l'autre et les charges pyroélectriques disparaissent à nouveau. Cependant, en cas de changement de température, la charge n'a pas le temps nécessaire pour disparaître.